<Direto ao Ponto 20> Projeto de circuitos digitais – O Somador Completo

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Olá, dev!

Este é mais um artigo da série DIRETO AO PONTO, que eu estou escrevendo para a DIO. Ele vai tratar do projeto do circuito digital de um somador completo, do início ao fim.

Sumário

1.   Introdução

2.   O meio somador de 1 bit

3.  O somador completo de 1 bit

4.  O somador completo de vários bits

5.   Considerações finais

6.   Referências

1 – Introdução

A série DIRETO AO PONTO enfoca artigos sobre conhecimentos básicos da programação e é voltada, principalmente, para os iniciantes.

Este novo artigo vai tratar do projeto de um circuito digital, do início ao fim, desde a tabela de entradas possíveis e as saídas esperadas.

A partir daí, a equação matemática (no sistema binário) do circuito será gerada. Por fim, serão definidos os circuitos eletrônicos para implementar o projeto.

Este tipo de projeto é usado parta a maioria de circuitos digitais, mas aqui será focado apenas o projeto de um somador completo, complementando os conceitos apresentados nos últimos artigos desta série, que tratam do sistema de numeração binário.

Na semana atrasada, que eu poderia chamar de Semana Digital, eu publiquei quase 1 artigo por dia sobre o tema Eletrônica Digital.

Com este, eu encerro uma parte do assunto.

2 – O meio somador de 1 bit

O conteúdo deste artigo é baseado em Stallings [1], mas muita coisa vem da minha experiência em projetos e implementações de circuitos de sistemas digitais.

Um circuito digital muito usado é o somador, que realiza a soma digital de 2 entradas binárias (2 bits), gerando um bit com o resultado da soma e outro bit de vai-um (“carry”). Este é o somador mais simples, chamado de meio somador (“half adder”).

A seguir, é mostrada a tabela verdade para a operação dele, seguida das equações das saídas e do circuito eletrônico, composto por portas lógicas:

I - Equação de Soma:

É uma porta XOR (OU EXCLUSIVO).

II - Equação do Vai-um de saída: Vs = A.B (porta AND)

Implementando estas equações com circuitos lógicos, temos o circuito do meio somador:

3 - O somador completo de 1 bit

Já um somador completo (“full adder”) tem estas mesmas entradas e saídas e ainda possui uma entrada adicional, para somar o vai-um recebido de um módulo anterior.

A tabela-verdade com todas as entradas possíveis e suas saídas resultantes é mostrada abaixo:

A partir desta tabela, podem ser usadas técnicas de projeto para se representar o circuito digital equivalente.

Uma destas técnicas é o Mapa de Karnaugh, que identifica claramente, e de forma geométrica, quais são as entradas que geram determinadas saídas relevantes para o projeto. Para esta tabela-verdade, vamos considerar:

·        Vr - o vai-um recebido de um módulo anterior;

·        Vs - o vai-um de saída para o módulo seguinte.

Assim, para este projeto, os mapas seriam:

I - Mapa de Karnaugh para a saída Soma (S)

Equação de saída:

II - Mapa de Karnaugh a saída “Vai-um de Saída (Vs)”:

Equação de saída:

Usando outra técnica, chamada Álgebra de Boole, podemos simplificar as equações acima, que permita associar os termos a uma representação mínima de portas lógicas básicas.

A igualdade das tabelas da operação AND e da multiplicação de números binários de 1 bit (ver a primeira figura abaixo), bem como da operação OR e da tabela de soma de números binários de 1 bit (ver a segunda figura abaixo), permite representar:

·        a operação lógica AND pelo caractere (.);

·      a operação lógica OR pelo caractere (+) – “sinal de “mais”;

Já a operação lógica XOR (OU EXCLUSIVO) é representada por um caractere de um círculo com um sinal de mais dentro dele.

Desta forma, simplificando a primeira equação, usando a álgebra de Boole, a equação resulta em:

Em circuitos, são 2 portas XOR.

A segunda equação já se encontra na forma simplificada, permanecendo:

Em circuitos, isso dá 3 portas AND e 1 porta OR.

Finalmente, usando circuitos lógicos para cada termo da primeira equação, temos:

E a segunda equação pelo circuito:

Desta forma, o circuito inteiro do somador completo pode ser representado por:

4 – O somador completo de vários bits

Como este circuito é muito usado, podemos usar uma representação em uma caixa preta (bloco fechado), sem mostrar os detalhes da sua implementação interna assim:

Onde:

A – Um dos bits de entrada;

B – O outro bit de entrada;

Vr – Entrada do vai-um recebido do módulo anterior;

Vs – Saída do vai-um para o módulo seguinte;

S – Saída do bit da soma resultante do módulo.

Para montar um somador completo para 4 bits, bastaria conectar 4 módulos deste em sequência, conectando a saída do vai-um de cada módulo à entrada do vai-um do módulo seguinte, lembrando de atribuir o valor zero (0) à entrada do vai-um do primeiro módulo, do bit menos significativo, pois ele não recebe vai-um de outro módulo, como na figura seguinte:

O resultado da soma será o número binário formado por S₃S₂S₁S₀, nesta ordem, sendo o bit S₃ o mais significativo e o S₀ o menos significativo. Por exemplo: para S₃S₂S₁S₀= 1011, o número decimal seria 8+0+2+1 = 11.

Note que a entrada Vr0 do somador 0 está aterrada (com valor lógico 0), significando que não existe o vai-um de módulo anterior para ele. Assim, ao invés de um somador completo (com entrada de vai-um), poderia ser usado um meio somador (sem entrada de vai-um) para este módulo.

Existem circuitos integrados que oferecem somadores completos para vários módulos integrados de somadores, como 4 e 8, podendo ser usados em conjunto para somas de maiores quantidades de bits (16,32 etc.).

5 – Considerações finais

Este é mais um artigo da série DIRETO AO PONTO, que eu estou escrevendo para a DIO. Ele tratou das operações lógicas usadas no projeto e implementação dos computadores digitais.

Este artigo tratou do projeto do circuito digital de um somador completo de 4 bits, que realiza soma de números binários.

Primeiro, foi apresentada a tabela-verdade do circuito, contendo todas as possibilidades de entrada e as saídas correspondentes.

Depois, usando a técnica do Mapa de Karnaugh, foi encontrada a equação matemática binária básica do circuito. As equações encontradas foram simplificadas usando a Álgebra de Boole.

Devido à associação muito forte entre as operações lógicas OR, AND e XOR e os circuitos que as implementam, foram desenhados os circuitos lógicos equivalentes.

Cada somador foi representado por um módulo fechado, sem os detalhes internos das portas lógicas.

Finalmente, foram interligados 4 destes somadores de 1 bit para criar um somador completo de 4 bits.

Depois da semana atrasada, que eu poderia chamar de Semana Digital, em que eu publiquei quase 1 artigo por dia, estou encerrando o assunto de circuitos combinacionais com este artigo.

Além do somador, o computador ainda tem muitos circuitos combinacionais, como codificador, decodificador, multiplex, demultiplex etc. Um circuito combinacional é aquele que a saída sempre reflete os valores atuais dos bits da entrada dos circuitos lógicos.

Existem outros tipos de circuitos, chamados circuitos sequenciais, que serão tratados em outros artigos que virão pela frente. Exemplos são os flip-flops, contadores, registradores e memórias. 

Obrigado por ler tudo e até o próximo artigo!

4 – Referências

[1] STALLINGS, William. Arquitetura e Organização de Computadores. 10ª. Ed, Pearson, 2018.

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